sin(π/10),cos(2π/10),sin(3π/10),cos(π/5)の値
①sin(π/10)の値
sin(5θ)=1=sin(π/2)
5倍角の公式
16sin^5θ-20sin^3θ+5sinθ=1
sinθ=xとすると
16x^5-20x^3+5x-1=0
x=1を因数に持つ
(x-1)(4x^2+2x-1)^2=0
と因数分解できて
4x^2+2x-1=0
の解が
x=(-1±√5)/4
でx＞0で
5θ=π/2
を満たして
θ=π/10
よって
sin(π/10)=(-1+√5)/4
②cos(2π/5)の値
cos(5θ)=1=cos(2π)
5倍角の公式
16cos^5θ-20cos^3θ+5cosθ=1
cosθ=xとすると
16x^5-20x^3+5x-1=0
x=1を因数に持つ
(x-1)(4x^2+2x-1)^2=0
と因数分解できて
4x^2+2x-1=0
の解が
x=(-1±√5)/4
でx＞0
のものが
5θ=2π
を満たして
θ=2π/5
よって
cos(2π/5)=(-1+√5)/4
③
sin(5θ)=-1=sin(3π/2)
5倍角の公式
16sin^5θ-20sin^3θ+5sinθ=1
sinθ=xとすると
16x^5-20x^3+5x+1=0
x=-1を因数に持つ
(x+1)(4x^2-2x-1)^2=0
と因数分解できて
4x^2-2x-1=0
の解が
x=(1±√5)/4
でx＞0
のものが
5θ=3π/2
を満たして
θ=3π/10
よって
sin(3π/10)=(1+√5)/4
④
cos(π/5)の値
cos(5θ)=-1=cos(π)
5倍角の公式
16cos^5θ-20cos^3θ+5cosθ=-1
cosθ=xとすると
16x^5-20x^3+5x+1=0
x=-1を因数に持つ
(x+1)(4x^2-2x-1)^2=0
と因数分解できて
4x^2-2x-1=0
の解が
x=(1±√5)/4
でx＞0
のものが
5θ=π
を満たして
θ=π/5
よって
cos(π/5)=(1+√5)/4
